Problemas de Geometría del Espacio para Quinto de Secundaria

Problemas de Geometría del Espacio – Quinto de Secundaria

Aquí encontraras una ficha de Problemas de Geometría del Espacio para estudiantes de Quinto de Secundaria, este tema corresponde al área de Geometría. Dicha ficha contiene ejercicios de este tema con sus respectivas claves de respuestas al final

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Conceptos Importantes del Tema

GEOMETRÍA DEL ESPACIO 

1. INTRODUCCIÓN.

La geometría del espacio o estereometría tiene por objeto el estudio de las figuras sólidas o del espacio, es decir de las figuras cuyos puntos no pertenecen  todos a un mismo plano, si no al espacio tridimensional, por ejemplo el prisma, el cilindro, la esfera, etc.

2. PLANO:

Es una superficie ilimitada de puntos donde toda recta que pase por dos de sus puntos está íntegramente contenida en el plano.

POSTULADOS PARA LA DETERMINACIÓN DE UN PLANO.

Un plano queda determinado por:

1° Tres puntos no colineales.

2° Una recta y un punto exterior a ella.

3° Dos rectas secantes.

4° Dos rectas paralelas.

2.1 POSICIONES DE DOS PLANOS

a).- Secantes .- Tiene una recta común.

b).- Paralelos.- No tienen punto común.

2.2 POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO

 a).- Secantes . Tienen un punto común.

b).- Paralelas: No tiene punto común.

2.3 TEOREMAS

1. Recta perpendicular a un plano.

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en él.

1. Teorema de las tres perpendiculares

Si por  el pie de una perpendicular a un plano  se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano el punto de intersección de esta segunda y un punto cualquiera de la primera determinan una tercera perpendicular a la recta contenida en el plano.

3. ÁNGULO DIEDRO

Es la figura por dos semiplanos que tienen una recta común llamada arista del ángulo diedro.

4. ÁNGULO TRIEDRO

Es la figura que esta formada por 3 regiones angulares los cuales tiene el mismo vértice.

5. POLIEDRO

Es el sólido formado por 4 o más polígonos planos, donde cada lado de un polígono pertenece a dos caras del sólido.

• Poliedro convexo
• Poliedro no convexo

Teorema de Euler. En todo poliedro se cumple :

C + V = A + 2

C = # de caras

V = # de vértices

A = # de aristas

5.1.- POLIEDROS REGULARES

Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares, solamente existen 5 poliedros regulares y son:

a.- tetraedro regular

b.- exágono regular (cubo)

c.- octaedro regular

d.- dodecaedro

e.- icosaedro

6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

6.1.- EL PRISMA

Es el sólido cuyas caras bases son paralelas y congruentes todas la caras laterales son paralelogramos.

CLASES:

• Prisma recto.- Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
• Prisma oblicuo.- Es aquel cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las bases.
• Prisma regular .- Es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.
• Prisma irregular.- Es aquel cuyas bases son polígono irregulares.

OBSERVACIONES:

1. Un prisma se denomina según el polígono que limita su base, así los prismas serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc., según que sus bases sean regiones triangulares, cuadrangulares y pentagonales, etc.
2. Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, en caso contrario será oblicuo.
3. En un prisma recto las caras laterales son regiones rectangulares.
4. Un prisma recto es regular si sus bases son regiones limitadas por polígonos regulares.

6.1.1.- PRISMA RECTO

1. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura.
2. El área de la superficie de un prisma recto es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.
3. El volumen de un prisma recto es el producto del área de la base y su altura.

 6.1.2.- PRISMA OBLICUO

1. El área de la superficie lateral de un prisma oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta y la arista lateral.

Nota.- La sección recta es el polígono cuyos lados son perpendiculares a las aristas laterales del prisma oblicuo. Además su área es diferente al área de la base.

1. El área de la superficie total de un prisma oblicuo es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.
2. El volumen de un prisma oblicuo es igual al producto del área de la base y su altura o también el producto del área de la sección recta y una arista lateral.

6.1.3.- TRONCO DE PRISMA

Es la porción de prisma comprendido entre una de las bases y la sección que determina un planos secante a las aristas y no paralelo a las   bases.

6.2.- EL PARALELEPÍPEDO

Es el prisma cuadrangular cuyas bases son paralelogramos.

Paralelepípedo Rectangular .- Es un paralelepípedo recto, cuyas bases son rectángulos. También se llama ortoedro o rectoedro.

1. El volumen de un paralelepípedo es igual al producto de sus 3 dimensiones.
2. Diagonal

6.3.- CILINDRO

6.3.1 CILINDRO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN.-

Es el sólido generado por un rectángulo, cuando gira alrededor de uno de sus lados tomados como eje.

1. El área de la superficie lateral de un cilindro recto es igual al producto del perímetro de la base y su altura.

El área de la superficie de un cilindro recto es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.

1. El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base y su altura.

6.3.2.CILINDRO OBLICUO

Si se corta a un cilindro recto con dos plano paralelos se obtiene un cilindro oblicuo cuyas bases son elipses.

1. El área de la superficie lateral es un círculo oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta y la generatriz.
2. El área de la superficie total de un cilindro oblicuo es igual al área lateral más 2 veces el área de la base (elipse).
3. El volumen de un cilindro oblicuo es igual al producto del área de la base y su altura o también el producto del área de la sección recta y su generatriz.

6.4.- LA PIRAMIDE

Es el sólido cuya base es una región poligonal y cuyas caras laterales son regiones triangulares, que tienen un vértice común.

6.4.1 PIRÁMIDE REGULAR

Es la pirámide cuya base es una región poligonal regular y cuyo pie de la altura coincide con el centro de la base.

1. El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base y su apotema.
2. El área de la superficie total de una pirámide regular es igual al área de la superficie lateral más el área de la base.
3. El volumen de toda pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base y su altura.

6.4.2 TRONCO DE PIRÁMIDE

Es la porción de una pirámide, comprendido entre la base y la sección que determina un plano secante a las aristas. Si el plano secante es paralelos a la base, el tronco de pirámide se denomina de bases paralelas.

6.5.- EL CONO

Es el sólido geométrico determinado al hacer girar una vuelta a un triángulo rectángulo. Alrededor  de uno de sus catetos tomado como eje.

Por tal motivo se le llama circular recto o cono de revolución.

NOTA.- Las fórmulas aplicadas en una pirámide regular son aplicadas también en el cono circular recto.

6.5.1 TRONCO DE CONO

Es la porción de cono comprendido entre la base y la sección que determina un plano secante a dicho cono, si el plano es paralelos a la base, el tronco de cono se denomina de bases paralelas.

6.6. LA ESFERA

Es el sólido geomét5ico determinado al hacer girar una vuelta a un semicírculo, alrededor de su diámetro tomado como eje.

6.6.1 SUPERFICIE ESFÉRICA.-

Es la superficie que genera una semicircunferencia cuando gira una vuelta alrededor de su diámetro tomado como eje.

7. TEOREMA DE PAPPUS – GULDIM

1. El área generada por una figura que gira alrededor de un eje coplanar y exterior, es igual al producto de la longitud de la figura, por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad.
2. El volumen engendrado por la rotación de una figura que gira alrededor de un eje coplanar y exterior es igual al producto del área de la figura por la longitud de la semicircunferencia que describe su centro de gravedad.

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